Tính giới hạn lim x → + ∞ ( sin x/ x ) ?

12/22

Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right)\)?

\(0\).

Giới hạn không tồn tại.

\(1\).

\( + \infty \).

Giải thích

Lời giải

Chọn B

Xét mọi dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) sao cho \(\lim {x_n} = + \infty \Rightarrow \lim \frac{1}{{{x_n}}} = 0\)

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right) = \lim \left( {\frac{{\sin {x_n}}}{{{x_n}}}} \right)\)

Ta có \(\left| {\frac{{\sin {x_n}}}{{{x_n}}}} \right| \le \frac{1}{{{x_n}}}\) mà \(\mathop {\lim }\limits_{} \left( {\frac{1}{{{x_n}}}} \right) = 0\) nên \(\left| {\frac{{\sin {x_n}}}{{{x_n}}}} \right|\) nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ số hạng nào đó trở đi

Theo định nghĩa dãy số có giới hạn \(0\) ta có \(\lim \left( {\frac{{\sin {x_n}}}{{{x_n}}}} \right) = 0\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right) = 0\)