Tính giá trị lớn nhất của biểu thức A =

Hướng dẫn giải

Ta có: \(A = \frac{{2 + 2x - {x^2}}}{{{x^2} - 2x + 3}} = \frac{{5 - \left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}}{{{x^2} - 2x + 3}} = \frac{5}{{{x^2} - 2x + 3}} - 1\).

Do \({x^2} - 2x + 3 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \ge 2\) với mọi \(x\) nên \(\frac{5}{{{x^2} - 2x + 3}} = \frac{5}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2}} \le \frac{5}{2}.\)

Suy ra \(\frac{5}{{{x^2} - 2x + 3}} - 1 \le \frac{5}{2} - 1\) hay \(A \le \frac{3}{2}\).

Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {x - 1} \right)^2} = 0\) hay \(x = 1\).

Vậy GTLN của \(A = \frac{3}{2}\) khi \(x = 1\).