Tính giá trị cực đại của hàm số y = −x^3 + 3x^2 + 1872x − 28803.

Tìm đạo hàm của hàm số: \(y' = - 3{x^2} + 6x + 1872\).

Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow \)\( - 3{x^2} + 6x + 1872 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 624 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 26;\,{x_2} = - 24\).

Vì hệ số của \({x^3}\) âm (\(a = - 1 < 0\)), đồ thị hàm bậc ba sẽ đi từ trên xuống, qua cực tiểu rồi lên cực đại. Cụ thể:

Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi qua nghiệm lớn \(x = 26\), tức là hàm số đạt cực đại tại \(x = 26\).

Thay \(x = 26\) vào hàm số để tính giá trị cực đại :

\(y\left( {26} \right) = - {26^3} + 3 \cdot {26^2} + 1872 \cdot 26 - 28803\)\( = 4321\).

Kết quả: 4321.