Tính giá trị của biểu thức T = a − 5 b + 5 c .

18/22

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho ba điểm \[A\left( {1;1;1} \right)\], \[B\left( { - 2;1;0} \right)\] và \[C\left( {2; - 3;1} \right)\]. Điểm \(S\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oyz} \right)\) sao cho \(P = S{A^2} + S{B^2} + 3S{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức \(T = a - 5b + 5c\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Gọi \(I\) là điểm sao cho \[\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow I\left( {1; - \frac{7}{5};\frac{4}{5}} \right)\].

Ta có \[P = S{A^2} + S{B^2} + 3S{C^2} = {\overrightarrow {SA} ^2} + {\overrightarrow {SB} ^2} + 3{\overrightarrow {SC} ^2}\]

\[ = {\left( {\overrightarrow {SI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {SI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {SI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2} = 5S{I^2} + I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2}\].

Do các điểm \(A,B,C,I\) xác định nên \[P = S{A^2} + S{B^2} + 3S{C^2}\] đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(SI\) nhỏ nhất hay \(S\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(I\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\). Do đó \(S\left( {0; - \frac{7}{5};\frac{4}{5}} \right).\)

Vậy \(T = a - 5b + 5c = 0 - 5 \cdot \left( { - \frac{7}{5}} \right) + 5 \cdot \frac{4}{5} = 11\).

Đáp án:\(11\).