tính giá trị của biểu thức S = x 3 1 + 9 x 2 + 7.

Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 2x - 5 = 0\) nên ta có \(x_1^2 - 2{x_1} - 5 = 0,\) suy ra \(x_1^2 = 2{x_1} + 5.\)

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = 2.\)

Ta có: \(S = x_1^3 + 9{x_2} + 7 = {x_1} \cdot x_1^2 + 9{x_2} + 7 = {x_1} \cdot \left( {2{x_1} + 5} \right) + 9{x_2} + 7\)

\( = 2x_1^2 + 5{x_1} + 9{x_2} + 7 = 2 \cdot \left( {2{x_1} + 5} \right) + 5{x_1} + 9{x_2} + 7 = 4{x_1} + 10 + 5{x_1} + 9{x_2} + 7\)

\( = 9{x_1} + 9{x_2} + 17 = 9\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 17 = 9 \cdot 2 + 17 = 35.\)

Vậy giá trị của biểu thức \(S\) là \(35.\)