Tính giá trị của biểu thức P = căn bậc hai của 25 + 3 căn bậc hai của −27.

1. Ta có \(P = \sqrt {25}  + \sqrt[3]{{ - 27}} = 5 - 3 = 2\).

2. Với \(x \ge 0,x \ne 4\) ta được:

\(Q = \left( {\frac{2}{{x + 4\sqrt x  + 4}} - \frac{1}{{2\sqrt x  + 4}}} \right):\frac{{2 - \sqrt x }}{{6\sqrt x  + 12}}\)

\[ = \left[ {\frac{2}{{{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}} - \frac{1}{{2\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}} \right]:\frac{{2 - \sqrt x }}{{6\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\]

\( = \left[ {\frac{4}{{2{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{2{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}} \right]:\frac{{2 - \sqrt x }}{{6\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{4 - \sqrt x  - 2}}{{2{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}:\frac{{2 - \sqrt x }}{{6\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{2 - \sqrt x }}{{2{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}} \cdot \frac{{6\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{2 - \sqrt x }}\)\( = \frac{3}{{\sqrt x  + 2}}\).

Ta có \(Q = \frac{3}{{\sqrt x  + 2}}\). Để \(Q \in \mathbb{Z}\) thì \((\sqrt x  + 2)\) phải là ước nguyên của 3.

Tập hợp các ước của 3 là: Ư\((3) = \left\{ {1\,;\,\, - 1\,;\,\,3\,;\,\, - 3} \right\}\).

Vì \(x \ge 0\) nên \(\sqrt x  \ge 0\), do đó \(\sqrt x  + 2 \ge 2\).

So sánh với tập các ước của 3, giá trị duy nhất thỏa mãn điều kiện \(\sqrt x  + 2 \ge 2\) là \(3\).

Do đó, ta có \(\sqrt x  + 2 = 3\) nên \(\sqrt x  = 1\) suy ra \(x = 1\) (TMĐK).

Vậy để \(Q\) nhận giá trị là số nguyên thì \(x = 1\).