Tính giá trị của biểu thức: M

Hướng dẫn giải

Ta có: \(M = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {b - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {c - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)}}\)\( = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^3} + {{\left( {b - 2} \right)}^3} + {{\left( {c - 2} \right)}^3}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}}\)

Đặt \(a - 2 = x;\,\,b - 2 = y;\,\,c - 2 = z.\)

Khi đó \(M = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{xyz}}.\)

Mặt khác, từ \(a + b + c = 6\) suy ra \(\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 2} \right) + \left( {c - 2} \right) = 0\)

Hay \(x + y + z = 0\)

Suy ra \(x + y = - z\)

\[{\left( {x + y} \right)^3} = {\left( { - z} \right)^3}\]

\({x^3} + {y^3} + 3xy\left( {x + y} \right) = - {z^3}\)

\({x^3} + {y^3} + 3xy\left( { - z} \right) = - {z^3}\)

\({x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\)

Do đó \(M = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{xyz}} = \frac{{3xyz}}{{xyz}} = 3.\)

Vậy \(M = 3.\)