Tính giá trị của biểu thức A = a ^9 + b ^11 + c ^2025 a ^2023 + b^ 2024 + c ^2025 .

Hướng dẫn giải

Vì \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\) và \(a + b + c + ab + bc + ca = 6.\)

Suy ra \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 1} \right) = 2\left( {ab + bc + ca + a + b + c} \right)\]

\[3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} + 3 = 2ab + 2bc + 2ca + 2a + 2b + 2c\]

\[\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2a + 1} \right) + \left( {{b^2} - 2b + 1} \right) + \left( {{c^2} - 2c + 1} \right) = 0\]

\[{\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = 0\]

\[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {b - c} \right)^2} = {\left( {c - a} \right)^2} = 0\\{\left( {a - 1} \right)^2} = {\left( {b - 1} \right)^2} = {\left( {c - 1} \right)^2} = 0\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}a - b = b - c = c - a = 0\\a - 1 = b - 1 = c - 1 = 0\end{array} \right.\]

\[a = b = c = 1\].

Do đó \[A = \frac{{{a^9} + {b^{11}} + {c^{2025}}}}{{{a^{2023}} + {b^{2024}} + {c^{2025}}}} = \frac{{{1^9} + {1^{11}} + {1^{2025}}}}{{{1^{2023}} + {1^{2024}} + {1^{2025}}}} = \frac{{1 + 1 + 1}}{{1 + 1 + 1}} = 1.\]