Tính giá trị của biểu thức a + 2 b + 3 c .

Gọi \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( Q \right)\).

Vì \(\left( Q \right)\) đi qua hai điểm \(A,\;B\) và vuông góc \(\left( P \right)\) nên \(\vec n \bot \overrightarrow {AB} \) và \(\vec n \bot {\vec n_{\left( P \right)}}\) với \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;\, - 1;\,3} \right)\) và \({\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {1;\, - 2;\,3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Xét \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,{{\vec n}_{\left( P \right)}}} \right] = \left( {3;\, - 3;\, - 3} \right) = 3\left( {1;\, - 1;\, - 1} \right)\).

Do đó \({\vec n_{\left( Q \right)}} = \left( {1;\, - 1;\, - 1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( Q \right)\).

Vậy mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;\;2;\;0} \right)\)và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{\left( Q \right)}} = \left( {1;\, - 1;\, - 1} \right)\) nên có phương trình là: \(\left( {x + 1} \right) - \left( {y - 2} \right) - z = 0\)\( \Leftrightarrow x - y - z + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow 2x - 2y - 2z + 6 = 0\).

Suy ra \(a = 2,\,b = 2,\,c = 6\) nên \(a + 2b + 3c = 24\).

Đáp án:\(24\).