Tính giá trị của biểu thức 45 a − 1/ 2 b .
22/22
Người ta dựng trên mặt đất bằng phẳng một chiếc lều từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài \(6\;m\) và chiều rộng \(5\,\,{\rm{m}}\) bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh chiều dài của tấm bạt sao cho hai mép cạnh chiều rộng của tấm bạt sát đất và cách nhau \(x\,\,{\rm{(m)}}\), hai đầu hồi của lều được thiết kế cửa ra, vào và có thể khép kín (tham khảo hình vẽ dưới).
Thể tích không gian phía trong lều lớn nhất bằng \(\frac{a}{b}\,\,({{\rm{m}}^3})\) với \(a,b \in {\mathbb{N}^ * }\) và phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính giá trị của biểu thức \(45a - \frac{1}{2}b\).
Xét hình lăng trụ đứng \(ABC.A\prime B\prime C\prime \) có đáy là tam giác cân với hai cạnh bên có độ dài bằng \(3\;{\rm{m}}\), chiều cao lăng trụ bằng \[5\,{\rm{m}}\] như hình vẽ.
Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\) thì \(CH \bot AB\) và
\(CH = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {36 - {x^2}} }}{2}\).
Do đó diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}CH \cdot AB = \frac{{x\sqrt {36 - {x^2}} }}{4}\).
Suy ra thể tích của lều là \(V = 5 \cdot \frac{{x\sqrt {36 - {x^2}} }}{4}\) \({\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\).
Để không gian phía trong lều lớn nhất thì \({V_{\max }}\).
Ta có \[V = \frac{5}{4}x\sqrt {36 - {x^2}} \le \frac{5}{4} \cdot \frac{{36}}{2} = \frac{{45}}{2}\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\] với mọi \(x \in \left( {0;6} \right)\).
Dấu "=" xảy ra khi \(x = \sqrt {36 - {x^2}} \Leftrightarrow x = 3\sqrt 2 \).
Vậy \(a = 45,\,\,b = 2 \Rightarrow 45a - \frac{1}{2}b = 2024\).
Đáp án:\(2024\).