Tính độ dài NH, MH, HD.

Lời giải:

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông MNP tại M có:

NP² = MN² + MP²

Suy ra \[NP = \sqrt {M{N^2} + M{P^2}} = \sqrt {{{18}^2} + {{24}^2}} = 30\] (cm).

⦁ Ta có \({S_{MNP}} = \frac{1}{2}MN \cdot MP = \frac{1}{2}MH \cdot NP\)

Suy ra \[MH = \frac{{MN \cdot MP}}{{NP}} = \frac{{18 \cdot 24}}{{30}} = 14,4\] (cm).

⦁ Xét ∆MNH và ∆PNM có:

\[\widehat {MHN} = \widehat {PMN} = 90^\circ \] và \[\widehat N\] là góc chung

Do đó ∆MNH ᔕ ∆PNM (g.g).

Suy ra \(\frac{{NH}}{{NM}} = \frac{{MN}}{{PN}}\) nên \[NH = \frac{{M{N^2}}}{{NP}} = \frac{{{{18}^2}}}{{30}} = 10,8\] (cm).

⦁ Xét ∆MNP có MD là đường phân giác của góc NMP nên \(\frac{{MN}}{{MP}} = \frac{{DN}}{{DP}}\) (tính chất đường phân giác)

Suy ra \(\frac{{MN}}{{MP + MN}} = \frac{{DN}}{{DP + DN}}\) (tính chất tỉ lệ thức)

Hay \(\frac{{MN}}{{MP + MN}} = \frac{{DN}}{{NP}}\)

Do đó \(\frac{{18}}{{24 + 18}} = \frac{{DN}}{{30}}\) nên \(DN = \frac{{30 \cdot 18}}{{24 + 18}} = \frac{{90}}{7}\) (cm).

Lại có DN = DH + HN

Suy ra \(HD = DN - NH = \frac{{90}}{7} - 10,8 = \frac{{72}}{{35}}\) (cm).