Tính độ dài cạnh A N (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

20/21

(1,5 điểm)

1) Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = 16\,{\rm{cm}},\,\,\widehat {ABC} = 45^\circ ,\,\,\widehat {ACB} = 30^\circ .\) Gọi \(N\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(A\) đến cạnh \(BC.\) Tính độ dài cạnh \(AN\) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

2) Người ta cần lắp đặt một thiết bị chiếu sáng gắn trên tường cho một phòng triển lãm như hình vẽ. Thiết bị này có góc chiếu sáng là \(20^\circ \) và cần đặt cao hơn mặt đất là \(2,5\,\,{\rm{m}}.\) Người ta đặt thiết bị chiếu sáng này sát tường và được canh chỉnh sao cho trên mặt đất dải ánh sáng bắt đầu từ vị trí cách tường \(2\,\,{\rm{m}}\) (như hình vẽ). Tính độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

KKKK (ảnh 1)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hướng dẫn giải

1) Từ \(B\) kẻ \(BK \bot AC\) tại \(K.\)

Xét tam giác \(BCK\) vuông tại \(K\) nên

\(BK = BC \cdot \sin C = 16 \cdot \sin 30^\circ = 8\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Xét tam giác \(ABC\) có \(\widehat {BAK}\) là góc ngoài nên

\(\widehat {BAK} = \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ .\)

Tam giác \(ABK\) vuông tại \(K\) nên \(\widehat {BAK} + \widehat {ABK} = 90^\circ \).

KKKK (ảnh 2)

Do đó \(\widehat {ABK} = 90^\circ - \widehat {BAK} = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ .\)

Ta có \(\cos \widehat {ABK} = \frac{{BK}}{{AB}}\) suy ra \(AB = \frac{{BK}}{{\cos \widehat {ABK}}} = \frac{8}{{\cos 15^\circ }} \approx 8,28\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Tam giác \(ANB\) vuông cân tại \(N\) nên \(\widehat {ABN} = \widehat {BAN} = 45^\circ \); \(\sin \widehat {ABN} = \frac{{AN}}{{AB}}\).

Suy ra \(AN = AB \cdot \sin \widehat {ABK} \approx 8,28 \cdot \sin 45^\circ \approx 5,85\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Vậy \(AN \approx 5,85\,\,{\rm{cm}}\,.\)

2)Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), ta có

\(\tan \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{2}{{2,5}} = 0,8\) nên \(\widehat {BAC} \approx 38,7^\circ .\)

Ta có \(\widehat {BAD} = \widehat {BAC} + \widehat {CAD} \approx 38,7^\circ + 20^\circ = 58,7^\circ .\)

Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(B\), ta có

\(BD = AB \cdot \tan \widehat {BAD} \approx 2,5 \cdot \tan 58,7^\circ \approx 4,1\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)

KKKK (ảnh 3)

Do đó \(CD = BD - BC \approx 4,1 - 2 = 2,1\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)

Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất khoảng \(2,1\) mét.