Tính độ dài A M .

5/26

Cho tam giác \[ABC\]cân tại \(A\)biết \(\widehat A = 120^\circ \)và \[AB = AC = a\]. Lấy điểm\[M\]trên cạnh \[BC\]sao cho \(BM = \frac{2}{5}BC\). Tính độ dài \[AM\].

\(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

\(AM = \frac{{11a}}{5}\).

\(AM = \frac{{a\sqrt 7 }}{5}\).

\(AM = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\).

Giải thích

Đáp án đúng là: C

v (ảnh 1)

Tam giác \[ABC\] cân tại \(A\) nên \(\widehat B = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2} = \frac{{180^\circ - 120^\circ }}{2} = 30^\circ \).

Áp dụng định lí côsin trong\(\Delta ABC\), ta có:

\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC\cos 120^\circ \]\[ = {a^2} + {a^2} - 2a \cdot a \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = 3{a^2}\].

\( \Rightarrow BC = a\sqrt 3 \)\( \Rightarrow BM = \frac{{2a\sqrt 3 }}{5}\).

Áp dụng định lí côsin trong \(\Delta ABM\), ta có:

\[A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2AB.BM.cos30^\circ = {a^2} + {\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{5}} \right)^2} - 2a \cdot \frac{{2a\sqrt 3 }}{5} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{7{a^2}}}{{25}}\].

\[ \Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt 7 }}{5}\].