Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 2x – x^2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3.

Ta có 2x – x² = 0 Û x = 0 hoặc x = 2.

Với x Î [0; 2] thì 2x – x² ≥ 0, với x Î [2; 3] thì 2x – x² ≤ 0.

Diện tích cần tính là:

\(S = \int\limits_0^3 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^2 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} + \int\limits_2^3 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} \)

\( = \left. {\left( {{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_2^3\)\( = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}\).