Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x^3 + 1, y = 2 và hai đường thẳng x = −1, x = 2.

Diện tích cần tính là:

\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^3} + 1 - 2} \right|dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^3} - 1} \right|dx} \).

Ta có x³ – 1 = 0 Û x = 1.

Với x Î [−1; 1] thì x³ – 1 ≤ 0, x Î [1; 2] thì x³ – 1 ≥ 0.

Do đó S\( = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} - 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^3} - 1} \right|dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - {x^3}} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - 1} \right)dx} \)

\( = \left. {\left( {x - \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_{ - 1}^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - x} \right)} \right|_1^2\)\( = \frac{3}{4} + \frac{5}{4} + 2 + \frac{3}{4} = \frac{{19}}{4}\).