Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x^2 – 2x – 1, y = x – 1 và hai đường thẳng x = 1, x = 4.

Diện tích cần tính là:

\(S = \int\limits_1^4 {\left| {{x^2} - 2x - 1 - \left( {x - 1} \right)} \right|dx} \)\( = \int\limits_1^4 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} \).

Ta có x² – 3x = 0 Û x = 0 hoặc x = 3.

Do đó S\( = \int\limits_1^3 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} + \int\limits_3^4 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} \)

\( = \int\limits_1^3 {\left( {3x - {x^2}} \right)dx} + \int\limits_3^4 {\left( {{x^2} - 3x} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{{3{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_1^3 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_3^4\)\( = \frac{9}{2} - \frac{7}{6} - \frac{8}{3} + \frac{9}{2} = \frac{{31}}{6}\).