Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số a) y = x^2 + 2x + 1, y = 1 – 2x và hai đường thẳng x = −1 và x = 2. b) y = x – 4x^3, y = 2x và hai đường thẳng x = 1, x = 4.

a) Diện tích hình phẳng cần tìm là:

\[S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - \left( {1 - 2x} \right)} \right|} dx\]

   \[ = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^3} + 4x} \right|} dx\].

Ta có: x2 + 4x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = −4. Phương trình chỉ có một nghiệm x = 0 thuộc [−1; 2].

Do đó, \[S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} + 4x} \right|dx} \]

              \[ = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^2} + 4x} \right|dx + \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} + 4x} \right|dx} } \]

              \[ = \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} + 4x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 4x} \right)dx} } \right|\]

              \[ = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)} \right|_{ - 1}^0} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)} \right|_0^2} \right|\]

                     \[ = \frac{5}{3} + \frac{{32}}{3} = \frac{{37}}{3}.\]

b) Diện tích hình phẳng cần tìm là:

\[S = \int\limits_1^4 {\left| {x - 4{x^3} - 2x} \right|dx = \int\limits_1^4 {\left| { - 4{x^3} - x} \right|dx} } \]

  \[ = \int\limits_1^4 {\left| { - \left( {4{x^3} + x} \right)} \right|dx}  = \int\limits_1^4 {\left| {4{x^3} + x} \right|dx} \]

Do 4x3 + x > 0 với mọi x ∈ [1; 4]. Do đó,

\[S = \int\limits_1^4 {\left| {4{x^3} + x} \right|dx} \]

   = \[\int\limits_1^4 {\left( {4{x^3} + x} \right)dx} \]

   \[ = \left. {\left( {{x^4} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^4 = \frac{{525}}{2}.\]