Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) y = (x – 1)^3, y = x – 1,x = 0, x = 1. b) y = x^3 + 2x^2 – 3x, y = x^2 + 3x, x = −3, x = 0.

a) Ta có: (x – 1)3 ≥ x – 1, với mọi x ∈ [0; 1].

Do đó, diện tích cần tính là:

S = \(\int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {x - 1} \right)}^3} - \left( {x - 1} \right)} \right|dx} \) = \(\int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^3} - \left( {x - 1} \right)} \right]dx} \)

                                         = \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x} \right)} dx\)

                                         = \(\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^3} + {x^2}} \right)} \right|_0^1\) = \(\frac{1}{4}\).

b) Ta có: x3 + 2x2 – 3x – x2 – 3x = x3 + x2 – 6x = x(x – 2)(x + 3) ≥ 0, với mọi x ∈ [−3; 0].

Do đó, diện tích cần tính là:

S = \(\int\limits_{ - 3}^0 {\left| {{x^3} + 2{x^2}--3x--{x^2}--3x} \right|} dx\)

   = \(\int\limits_{ - 3}^0 {\left| {{x^3} + {x^2} - 6x} \right|dx} \)

   = \(\int\limits_{ - 3}^0 {\left( {{x^3} + {x^2} - 6x} \right)dx} \)

   = \(\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} - 3{x^2}} \right)} \right|_{ - 3}^0\)

   = \(\frac{{63}}{4}\).