Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a) Đồ thị của hàm số y = 3x(2 – x), trục hoành với hai đường thẳng x = −1, x = 1.

a) Diện tích hình phẳng cần tìm là: \[S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {3x\left( {2 - x} \right)} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {6x - 3{x^2}} \right|dx} \].

Ta có: 3x(2 – x) = 0 khi x = 2 hoặc x = 0.

Phương trình chỉ có nghiệm x = 0 thuộc đoạn [−1; 1].

Do đó, \[S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {6x - 3{x^2}} \right|dx} \]

               \[ = \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {6x - 3{x^2}} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {6x - 3{x^2}} \right)dx} } \right|\]

               \[ = \left| {\left. {\left( {3{x^2} - {x^3}} \right)} \right|_{ - 1}^0} \right| + \left| {\left. {\left( {3{x^2} - {x^3}} \right)} \right|_0^1} \right|\]

               = 4 + 2 = 6.

b) Ta có \[y = \frac{{4 - x}}{x}\] > 0 với mọi x ∈ [1; 2].

Do đó diện tích hình phẳng cần tìm là:

 \[S = \int\limits_1^2 {\left| {\frac{{4 - x}}{x}} \right|} dx = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{{4 - x}}{x}} \right)} dx\]

    \[ = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{4}{x} - 1} \right)dx = \left. {\left( {4\ln \left| x \right| - x} \right)} \right|_1^2} \]

    = 4ln2 – 1.

c) Ta có: x3 – x2 = 0 ⇔ x2(x – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.

Với x ∈ [0; 1] thì y ≤ 0; với x ∈ [1; 2] thì y ≥ 0.

Do đó, diện tích hình phẳng cần tìm là:

\[S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - {x^2}} \right|dx} \]

  \[ = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - {x^3}} \right)dx}  + \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)dx} \]

  \[ = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_1^2\]

  \[ = \frac{1}{{12}} + \frac{{17}}{{12}} = \frac{3}{2}.\]