Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^3 − 3x^2 , trục hoành và hai đường thẳng x = 1 , x = 4 .

Ta có \({x^3} - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 3 \in \left[ {1;4} \right]\).

Diện tích hình phẳng cần tìm là

$S=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|x^3-3x^2\right|dx$ $=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|x^3-3x^2\right|dx+\underset{3}{\overset{4}{\int }}\left|x^3-3x^2\right|dx$ $=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(3x^2-x^3\right)dx+\underset{3}{\overset{4}{\int }}\left(x^3-3x^2\right)dx$

\( = \left. {\left( {{x^3} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_1^3 + \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^3}} \right)} \right|_3^4\)\( = 6 + \frac{{27}}{4} = \frac{{51}}{4}\).