Tính diện tích của tờ giấy theo x

51/55

B. Tự luận

Một mẫu giấy in hình chữ nhật được thiết kế với vùng in có diện tích \(300c{m^2}\), lề trái và lề phải là 2 cm, lề trên và lề dưới là 3 cm. Gọi \(x\left( {cm} \right)\)là chiều rộng của tờ giấy.

a) Tính diện tích của tờ giấy theo \(x\)

b) Kí hiệu diện tích tờ giấy là \(S\left( x \right)\). Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(y = S\left( x \right)\)

c) Tìm kích thước của tờ giấy sao cho nguyên liệu giấy được sử dụng là ít nhất.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Gọi \(y(\;{\rm{cm}})\) là chiều dài của tờ giấy. Theo giả thiết, ta có \((x - 4)(y - 6) = 300\).

Suy ra \(y = 6 + \frac{{300}}{{x - 4}}\).

a) Diện tích của tờ giấy được thiết kế là: \(S(x) = xy = \frac{{x(6x + 276)}}{{x - 4}}.\)

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(S(x)\):

Tập xác định: \((4; + \infty )\).

Sự biến thiên: Ta có \(S(x) = 6x + 300 + \frac{{1200}}{{x - 4}}\).

- \(S'(x) = \frac{{6{{(x - 4)}^2} - 1200}}{{{{(x - 4)}^2}}},S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = {x_0} = 4 + 10\sqrt 2 \).

- Hàm số đồng biến trên khoảng \((4 + 10\sqrt 2 ; + \infty )\), nghịch biến trên khoảng \((4;4 + 10\sqrt 2 )\)

- Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 4 + 10\sqrt 2 \).

- Giới hạn vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} S(x) = + \infty \), giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S(x) = + \infty \).

- Bảng biến thiên:

Tính diện tích của tờ giấy theo x (ảnh 1)

c) Kích thước của tờ giấy để nguyên liệu sử dụng ít nhất là:

Chiều rộng \(x = 4 + 10\sqrt 2 \approx 18,14(\;{\rm{cm}})\), Chiều dài \(y = 6 + \frac{{300}}{{x - 4}} = 6 + \frac{{30}}{{\sqrt 2 }} \approx 27,21(\;{\rm{cm}})\).