Tính cos ˆ M N P .

10/20

Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng 3. Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \[M\] sao cho \(BM = 1\), trên cạnh \[CD\] lấy điểm \[N\] sao cho \[DN = 1\] và \[P\] là trung điểm\[BC\]. Tính \[\cos \widehat {MNP}\].

\(\cos \widehat {MNP} = \frac{{13}}{{5\sqrt {10} }}\).

\(\cos \widehat {MNP} = \frac{{13}}{{4\sqrt {10} }}\).

\(\cos \widehat {MNP} = \frac{{13}}{{\sqrt {10} }}\).

\(\cos \widehat {MNP} = \frac{{13}}{{45\sqrt {10} }}\).

Giải thích

Đáp án đúng là: A

v (ảnh 1)

Ta có \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {NP} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).

Suy ra \(\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NP} = \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{2}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2}\)

\( = \frac{2}{9} \cdot {3^2} + \frac{1}{2} \cdot {3^2} = \frac{{13}}{2}\).

Mặt khác \(\left| {\overrightarrow {NM} } \right| = \sqrt {10} ,\,\,\left| {\overrightarrow {NP} } \right| = \frac{5}{2} \Rightarrow \cos \widehat {MNP} = \frac{{13}}{{5\sqrt {10} }}\).