Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
20/20
Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là \(400\;m\). Độ dốc của mặt cầu không vượt quá \(10^\circ \) (độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ, sao cho đỉnh cầu là gốc tọa độ và mặt cắt của cây cầu có hình dạng parabol \(y = - a{x^2}\) (với \(a\) là hằng số dương).
Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol bằng \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = - 2a{x_0}, - 200 \le {x_0} \le 200\).
Hệ số góc xác định độ dốc của mặt cầu (độ dốc dương) là \(|k| = 2a|x| \le 400a\).
Vì độ dốc của mặt cầu không vượt quá \(10^\circ \) nên ta có:
\(400a \le \tan 10^\circ \Leftrightarrow a \le \frac{{4,408174518}}{{10000}}.\)
Chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là đoạn \(OI\), cũng chính là độ lớn của tung độ điểm \(B\) khi a đạt giá trị lớn nhất.
Do đó, \(OI = \left| { - a \cdot {{200}^2}} \right| = 17,6(\;m)\).
Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là \(17,6\;m\).
Trả lời: 17,6.