Tính các tích phân sau: a) 2 ∫ − 1 ∣ ∣ x 2 + x − 2 ∣ ∣ d x ; b) 1 ∫ − 1 | e x − 1 | d x .

a) Ta có: x² + x – 2 = 0 ⇔ (x + 2)(x – 1) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = −2.

Ta có: x² + x – 2 ≤ 0 với mọi x ∈ [−1; 1] và x² + x – 2 ≤ 0 với mọi x ∈ [1; 2].

Suy ra, \[\int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|} dx\]

             \[ = \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ { - \left( {{x^2} + x - 2} \right)} \right]} dx + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + x - 2} \right)dx} \]

         \[ = \left. { - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right)} \right|_{ - 1}^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right)} \right|_1^2 = \frac{{31}}{6}.\]

b) \[\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - 1} \right|} dx\]

Ta có: e^x – 1 = 0 ⇔ x = 0.

Ta có e^x – 1 ≤ 0 với mọi x ∈ [−1; 0] và e^x – 1 ≥ 0 với mọi x ∈ [0; 1].

Từ đó, \[\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - 1} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {1 - {e^x}} \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} - 1} \right)dx} \]

                              \[ = \left. {\left( {x - {e^x}} \right)} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\left( {{e^x} - x} \right)} \right|_0^1 = e + \frac{1}{e} - 2\].