Tính biểu thức L = lim ( 1/ 1 + 1/( 1 + 2) + . . . + 1 /(1 + 2) + . . . + n )

2/22

Tìm \(L = \lim \left( {\frac{1}{1} + \frac{1}{{1 + 2}} + ... + \frac{1}{{1 + 2 + ... + n}}} \right)\)

\[L = \frac{5}{2}\].

\[L = + \infty \].

\[L = 2\].

\[L = \frac{3}{2}\].

Giải thích

Chọn C

Ta có \(1 + 2 + 3 + ... + k\) là tổng của cấp số cộng có \({u_1} = 1\), \(d = 1\) nên \(1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{\left( {1 + k} \right)k}}{2}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{1 + 2 + ... + k}} = \frac{2}{{k\left( {k + 1} \right)}}\)\( = \frac{2}{k} - \frac{2}{{k + 1}}\), \(\forall k \in {\mathbb{N}^*}\).

\(L = \lim \left( {\frac{2}{1} - \frac{2}{2} + \frac{2}{2} - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{4} + ... + \frac{2}{n} - \frac{2}{{n + 1}}} \right)\)\( = \lim \left( {\frac{2}{1} - \frac{2}{{n + 1}}} \right)\)\( = 2\).