Cho hình thang ABCD (AB < CD), AD cắt BC tại I, AC cắt BD tại O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, DC. Chứng minh rằng I, M, O, N thẳng hàng. (ảnh 1)

• Gọi M’ là giao điểm của IN và AB. Ta cần chứng minh M’ ≡ M.

Trong DIDN có AM’ // DN nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: AM'DN=IM'IN

Trong DICN có BM’ // CN nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: BM'CN=IM'IN

Suy ra AM'DN=BM'CN=IM'IN

Mà DN = CN nên AM’ = BM’ hay M’ là trung điểm của AB.

Do đó M’ ≡ M nên I, M, N thẳng hàng (*)

• Qua O kẻ đường thẳng song song với CD cắt ID và IC lần lượt tại H và K.

Trong DADC có HO // DC nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: HODC=AOAC(1)

Trong DBDC có KO // DC nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: KODC=BOBD (2)

Trong DODC có AB // DC nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: AOOC=BOOD

Suy ra AOAO+OC=BOBO+OD hay AOAC=BOBD(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra HODC=KODC, do đó HO = KO.

Chứng minh tương tự như trên ta có I, O, N thẳng hàng (**)

Từ (*) và (**) ta có I, M, O, N thẳng hàng.

Tính bằng cách thuận tiện 72,9 × 99 + 72 + 0,9.