Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD cạnh a căn bậc hai 2 A. R = a căn bậc hai 3

46/50

Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD cạnh \(a\sqrt 2 \)

\(R = a\sqrt 3 \)

\(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(R = \frac{{3a}}{2}\)

\(R = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\)

Giải thích

Đáp án B

Cách giải:

Gọi G là trọng tâm \(\Delta BCD\), ta có \(AG \bot \left( {BCD} \right)\) nên AG là trục của \(\Delta BCD\).

Gọi M là trung điểm của AB. Qua M dựng đường thẳng \(\Delta \bot AB\), gọi \(\left\{ I \right\} = \Delta \cap AG\).

Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD cạnh a căn bậc hai 2 A. R = a căn bậc hai 3 (ảnh 1)

Do đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm là I và bán kính \(R = IA\).

Ta có \(\Delta AIM\) và \(\Delta AGB\) là hai tam giác vuông đồng dạng nên:

\(\frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AG}} \Rightarrow AI = AB.\frac{{AM}}{{AG}}\)

Do \(AB = a\sqrt 2 ,\,\,AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},\,\,AG = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} - \left( {\frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 2 .\sqrt 3 }}{2}} \right)} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)

Khi đó \(R = AI = a\sqrt 2 .\frac{{a\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)