Tính b + c .

17/22

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho các điểm \[A\left( {1;0;0} \right)\], \[B\left( {0;b;0} \right)\], \[C\left( {0;0;c} \right)\] trong đó \[b,c\] là các số hữu tỷ dương và mặt phẳng \[\left( P \right)\] có phương trình \[y - z + 1 = 0\]. Biết rằng mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\]vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right)\] và khoảng cách từ \[O\] đến mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[\frac{1}{3}\]. Tính \[b + c\].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Ta có phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\]: \[\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0\].

Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là \[{\vec n_{\left( {ABC} \right)}} = \left( {1;\frac{1}{b};\frac{1}{c}} \right)\].

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( P \right)\] là \[{\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {0;1; - 1} \right)\].

Theo giả thiết: \[\left( {ABC} \right) \bot \left( P \right)\] nên \[{\vec n_{\left( {ABC} \right)}} \cdot {\vec n_{\left( P \right)}} = 0\] hay \[\frac{1}{b} - \frac{1}{c} = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,b = c\,\,\left( 1 \right)\].

Mà \[d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \frac{1}{3}\] hay \[\sqrt {1 + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} = 3\,\, \Leftrightarrow \,\,1 + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = 9\,\,\left( 2 \right)\].

Thay \[\left( 1 \right)\] vào \[\left( 2 \right)\] ta được: \[1 + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 9\, \Leftrightarrow \frac{2}{{{b^2}}} = 8 \Leftrightarrow {b^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow b = \frac{1}{2}\] (vì \[b\]là số hữu tỷ dương).

Suy ra \[c = \frac{1}{2}\]. Vậy \[b + c = 1\].

Đáp án:\(1\).