Tính A F theo R , biết B C = R √ 3 .

⦁ Tứ giác \[DHEC\] nội tiếp nên \(\widehat {DCE} + \widehat {DHE} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)

Lại có \(\widehat {DHE} + \widehat {EHA} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {DCE} = \widehat {EHA}\) hay \(\widehat {ACB} = \widehat {AHF}.\)

Mặt khác, xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ACB} = \widehat {AFB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Suy ra \(\widehat {AHF} = \widehat {AFB}\) nên \(\Delta AHF\) cân tại \[A.\] Do đó \(AF = AH.\)

⦁ Xét \(\Delta OBC\) cân tại \(O\) (do \(OB = OC)\) có \[OI\] là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến của tam giác, suy ra \[I\] là trung điểm của \[BC.\]

Tứ giác \(BHCM\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(BC,\,\,MH\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, suy ra \[I\] là trung điểm \[MH.\]

Xét \(\Delta AHM\) có: \[O,\,\,I\] lần lượt là trung điểm của \(AM,\) \[HM\] nên \[OI\] là đường trung bình của \(\Delta AHM.\) Suy ra \[AH = 2 \cdot OI.\]

⦁ Vì \[I\] là trung điểm của \(BC\) nên \(BI = CI = \frac{{BC}}{2} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.\)

Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta CIO\) vuông tại \[I\] ta có: \(O{C^2} = O{I^2} + C{I^2}\)

Suy ra \({R^2} = O{I^2} + {\left( {\frac{{R\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}\) nên \(O{I^2} = {R^2} - \frac{3}{4}{R^2} = \frac{{{R^2}}}{4},\) do đó \(OI = \frac{R}{2}.\)

Khi đó, \(AH = 2 \cdot OI = 2 \cdot \frac{R}{2} = R.\)

Vậy \(AF = AH = R.\)