Tìm x để thể tích của khối hộp lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(AM = BN = x{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Suy ra \(MN = AB - AM - BN = 60 - 2x{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Xét \[\Delta EMN\] vuông cân tại \(E\) ta có: \(E{M^2} + E{N^2} = M{N^2}\) (Định lý Pythagore).

Suy ra \(2E{N^2} = M{N^2}\) nên \(E{N^2} = \frac{{M{N^2}}}{2} = \frac{{{{\left( {60 - 2x} \right)}^2}}}{2},\) do đó \(EN = \frac{{60 - 2x}}{{\sqrt 2 }}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Xét \(\Delta BNF\) vuông cân tại \(B\) ta có: \(N{F^2} = B{N^2} + B{F^2}\) (Định lý Pythagore).

Suy ra \(N{F^2} = {x^2} + {x^2} = 2{x^2}\) nên \(NF = x\sqrt 2 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh \(NF = x\sqrt 2 {\rm{\;(cm)}}\) và chiều cao \(EN = \frac{{60 - 2x}}{{\sqrt 2 }}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Suy ra thể tích của hình hộp chữ nhật là:

\(V = N{F^2} \cdot EN = 2{x^2} \cdot \frac{{60 - 2x}}{{\sqrt 2 }} = 2 \cdot x \cdot x \cdot \frac{{60 - 2x}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \cdot x \cdot x \cdot \left( {60 - 2x} \right){\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có:

\(x \cdot x \cdot \left( {60 - 2x} \right) \le {\left( {\frac{{x + x + 60 - 2x}}{3}} \right)^3} = 8\,\,000.\)

Suy ra \(V = \sqrt 2 \cdot x \cdot x \cdot \left( {60 - 2x} \right) \le {\rm{8}}\,\,{\rm{000}}\sqrt 2 {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x = 60 - 2x,\) hay \(x = 20\) (thỏa mãn).

Vậy thể tích của hình hộp lớn nhất bằng \(V = 8\,\,000\sqrt 2 {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\) khi \(x = 20\;\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)