Tìm x để tam giác A B C có diện tích lớn nhất.

12/22

Cho một tấm gỗ hình vuông cạnh $200cm$. Người ta cắt một tấm gỗ có hình một tam giác vuông \[ABC\] từ tấm gỗ hình vuông đã cho như hình vẽ sau. Biết \[AB = x\left( {cm} \right)\](\[0 < x < 60\]) là một cạnh góc vuông của tam giác \[ABC\] và tổng độ dài cạnh góc vuông \[AB\] với cạnh huyền \[BC\] bằng \[120\]$cm$. Tìm \[x\] để tam giác \[ABC\] có diện tích lớn nhất. $Tìm \[x\] để tam giác \[ABC\] có diện tích lớn nhất. (ảnh 1)$

$x = 50cm$.

$x = 30cm$.

\[x = 40cm\].

$x = 20cm$.

Giải thích

Độ dài cạnh huyền \[BC = 120 - x\].

Khi đó độ dài cạnh \[AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {120 - x} \right)}^2} - {x^2}} = \sqrt {14400 - 240x} \].

Diện tích tam giác \[ABC\] là: \[S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}x\sqrt {14400 - 240x} \] $\left( {c{m^2}} \right)$

Xét hàm số \[f(x) = x\sqrt {14400 - 240x} \] với \[0 < x < 60\].

Ta có: \[f'(x) = \sqrt {14400 - 240x} - \frac{{120x}}{{\sqrt {14400 - 240x} }} = \frac{{14400 - 360x}}{{\sqrt {14400 - 240x} }}\];

\[f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 40 \in \left( {0;60} \right)\]

Bảng biến thiên

$Tìm \[x\] để tam giác \[ABC\] có diện tích lớn nhất. (ảnh 2)$

Vậy tam giác \[ABC\] có diện tích lớn nhất khi \[AB = 40\]$cm$.