Tìm x để diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật sau khi cắt là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Diện tích tấm bìa hình chữ nhật này là: \[50 \cdot 30 = 1\,\,500{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Chiều dài sau khi cắt tấm bìa là: \(50 - 2x{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Chiều rộng sau khi cắt tấm bìa là: \(30 - 2x{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Diện tích xung quanh của hộp là: \(2x\left( {50 - 2x + 30 - 2x} \right) = 2x\left( {80 - 4x} \right) = - 8{x^2} + 160x{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Để diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật sau khi cắt là lớn nhất thì \( - 8{x^2} + 160x\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: \( - 8{x^2} + 160x = - 8\left( {{x^2} - 20x + 100} \right) + 800 = - 8{\left( {x - 10} \right)^2} + 800\)

Với mọi \(x > 0,\) ta có: \( - 8{\left( {x - 10} \right)^2} \le 0\) nên \( - 8{\left( {x - 10} \right)^2} + 800 \le 800\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x - 10 = 0\) hay \(x = 10\).

Vậy diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật là \(800{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\) khi \(x = 10{\rm{ cm}}\).