Tìm x để diện tích hình chữ nhật M N P Q lớn nhất

Vì ABC là tam giác đều cạnh 20cm nên BC=20cm và B^=C^=60∘.

Xét ΔBMQ vuông tại M có B^+BQM^=90∘ và ΔCNP vuông tại N có C^+CPN^=90∘

Suy ra BQM^=CPN^.

Vì MNPQ là hình chữ nhật nên QM=PN.

Xét ΔBMQ và ΔCNP có: BMQ^=CNP^=90∘, QM=PN và BQM^=CPN^.

Do đó ΔBMQ=ΔCNP (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra BM=CN (hai cạnh tương ứng).

Do BC=20cm và MN=x(cm) nên BM=CN=20−x2(cm)  (0<x<20).

Xét ΔBMQ vuông tại M có QM=BM⋅tan⁡B=20−x2⋅tan⁡60∘=3(20−x)2(cm).

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: S=QM⋅MN=3(20−x)2⋅x=3x(20x−x2)(cm2).

Để diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S.

Ta có S=32(20x−x2)=32(20x−x2−100+100)

=32[100−(x−10)2]=503−32(x−10)2.

Với mọi 0<x<20 ta có (x−10)2≥0 nên 503−32(x−10)2≤503 hay S≤503.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x−10)2=0, hay x=10 (thỏa mãn).

Vậy diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn nhất bằng 503 khi x=10.