Tìm x, biết: x = căn bậc hai của 5 + căn bậc hai của 13 + căn bậc hai của 5 + căn bậc hai của 13 +

Lời giải

Nhận xét: x > 0.

Ta có: \(x = \sqrt {5 + \sqrt {13 + \sqrt {5 + \sqrt {13 + ......} } } } \)

\( \Rightarrow {x^2} = 5 + \sqrt {13 + \sqrt {5 + \sqrt {13 + ......} } } \)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 5 = \sqrt {13 + \sqrt {5 + \sqrt {13 + ......} } } \)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 5} \right)^2} = 13 + \sqrt {5 + \sqrt {13 + ......} } \)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 5} \right)^2} - 13 = x\)

Û x⁴ − 10x² − x + 12 = 0

Û (x − 3)(x³ + 3x² − x − 4) = 0.

Vì phương trình x³ + 3x² − x − 4 = 0 luôn có nghiệm x < 2 mà \(x > \sqrt 5 > \sqrt 4 = 2\).

Suy ra x − 3 = 0 Û x = 3.

Vậy x = 3.