Tìm tổng bình phương hai nghiệm của phương trình trên.

Để phương trình \({x^2} - 3x + a = 0\) nhận \(x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\) làm một nghiệm thì \(x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\) phải thỏa mãn phương trình đó.

Thay \(x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\) vào phương trình \({x^2} - 3x + a = 0\), ta được:

\({\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^2} - 3 \cdot \left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right) + a = 0\)

\(\frac{{9 - 6\sqrt 5 + 5}}{4} - \frac{{9 - 3\sqrt 5 }}{2} + a = 0\)

\(\frac{{9 - 6\sqrt 5 + 5 - 18 + 6\sqrt 5 }}{4} + a = 0\)

\(\frac{{ - 4}}{4} + a = 0\)

\( - 1 + a = 0\)

\(a = 1\).

Với \(a = 1\), phương trình bậc hai trở thành: \({x^2} - 3x + 1 = 0\) (1)

Do phương trình (1) có hai nghiệm nên theo hệ thức Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1}{x_2} = 1.\end{array} \right.\)

Ta có \(x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {3^2} - 2 \cdot 1 = 7.\)

Vậy \(a = 1\) và tổng bình phương hai nghiệm của phương trình đã cho khi ấy bằng 7.