Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn 3x^2 + 6y^2 + 2z^2 + 3y^2z^2 – 18x = 6.

Lời giải

Ta có:

3x² + 6y² + 2z² + 3y²z² – 18x = 6

⇔ (3x² – 18x + 27) + 6y² + 2z² + 3y²z² = 6 + 27

⇔ 3(x – 3)² + 6y² + 2z² + 3y²z² = 33                                 (1)

Vì x, y, z nguyên nên z² ⋮ 3 và 2z² ≤ 33

Hay |z| ≤ 3

Mà z nguyên

Suy ra z = 0 hoặc z = 3

+) TH1: z = 0

(1) ⇔  3(x – 3)² + 6y² = 33       

⇔ (x – 3)² + 2y² = 11

Suy ra 2y² ≤ 11

Do đó |y| ≤ 2

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {x - 3} \right)^2} = 11\\{\left( {x - 3} \right)^2} + 2 = 11\end{array} \right.\)

⇔ (x – 3)² + 2 = 11 (vì x nguyên)

⇔ (x – 3)² = 9 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 3\\x - 3 = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = 0\end{array} \right.\)

+) TH1: z = 3

(1) ⇔ 3(x – 3)² + 6y² + 2 . 3² + 3y² . 3² = 33                     

⇔ 3(x – 3)² + 33y² + 18 = 33

⇔ (x – 3)² + 11y² = 5

Suy ra 11y² ≤ 5

Do đó y = 0

Khi đó (x – 3)² = 5 nên không tìm được giá trị x nguyên thỏa mãn phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên (x, y, z) là: (0; 1; 0), (0; –1; 0), (6; 1; 0), (6; –1; 0).