Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x^9+3x^2-9x= m+ 3 căn 3 của 9x+m có đúng hai nghiệm thực phân biệt.

Ta có x9+3x3−9x=m+39x+m3⇔x33+3x3=9x+m33+39x+m3  (1)  .

Hàm số ft=t3+3t có f't=3t2+3>0, ∀t∈ℝ nên nó đồng biến trên R.

Mặt khác, theo (1) ta cófx3=f9x+m3⇔⇔x3=9x+m3  hay  m=x9−9x  (*).

Đặt gx=x9−9x, ta có g'x=9x8−9; g'x=0⇔⇔x=±1.

Bảng biến thiên:

Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt ⇔ phương trình (*) có đúng hai nghiệm thực phân biệt ⇔m=−8 hoặc m=8.