Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm: m log 3 − √ 4 − x 3 ≥ x √ x + √ x + 12 .

Hướng dẫn giải:

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}3 - \sqrt {4 - x}  > 0\\3 - \sqrt {4 - x}  \ne 1\\x \ge 0\\x + 12 \ge 0\\4 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le x \le 4\).

Nhận xét: \(3 - \sqrt {4 - x}  > 3 - \sqrt {4 - 0}  = 1 \Rightarrow {\log _{3 - \sqrt {4 - x} }}3 > {\log _{3 - \sqrt {4 - x} }}1 = 0\).

\(m{\log _{3 - \sqrt {4 - x} }}3 \ge x\sqrt x  + \sqrt {x + 12}  \Leftrightarrow m \ge \frac{{x\sqrt x  + \sqrt {x + 12} }}{{{{\log }_{3 - \sqrt {4 - x} }}3}} \Leftrightarrow m \ge \left( {x\sqrt x  + \sqrt {x + 12} } \right).{\log _3}\left( {3 - \sqrt {4 - x} } \right)\)

Đặt \(f(x) = \left( {x\sqrt x  + \sqrt {x + 12} } \right).{\log _3}\left( {3 - \sqrt {4 - x} } \right)\)

\({f^\prime }(x) = \left( {\frac{3}{2}\sqrt x  + \frac{2}{{2\sqrt {x + 12} }}} \right){\log _3}\left( {3 - \sqrt {4 - x} } \right) + \left( {x\sqrt x  + \sqrt {x + 12} } \right).\frac{1}{{\left( {3 - \sqrt {4 - x} } \right)\ln 3.2\sqrt {4 - x} }}\)

Vì \(f'(x) > 0,\forall x \in (0;4) \Rightarrow f(x)\) tăng trên (0;4) ⇒ tập giá trị của f(x) là (0;12).

Vậy bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m > 0.

 Chọn C