Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình x^2 - 4x + 6 + 3m = 0 có nghiệm

Đáp án đúng là: B

Ta có: \({x^2} - 4x + 6 + 3m = 0 \Leftrightarrow 3m = - {x^2} + 4x - 6\)

Số nghiệm của phương trình x² – 4x + 6 + 3m = 0 là số giao điểm của đường thẳng y = 3m và parabol \(y = - {x^2} + 4x - 6\)

Parabol \(y = - {x^2} + 4x - 6\) có hoành độ đỉnh \(x = 2 \in [ - 1;3]\), hệ số a = –1 < 0 nên đồng biến khi x < 2 và nghịch biến khi x > 2

Bảng biến thiên của hàm số \(y = - {x^2} + 4x - 6\) trên đoạn [–1; 3] là:

Từ bảng biến thiên ta thấy, nếu phương trình có nghiệm trên đoạn [–1; 3] thì đường thẳng y = 3m phải cắt parabol tại ít nhất 1 điểm có hoành độ thuộc đoạn [–1; 3]

Phương trình có nghiệm thuộc đoạn [–1; 3] \( \Leftrightarrow - 11 \le 3m \le - 2 \Leftrightarrow \frac{{ - 11}}{3} \le m \le \frac{{ - 2}}{3}\)

Vậy đáp án cần chọn là: B.