Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình sin 2x + cos 2x = m căn bậc hai của 2 có nghiệm.

Lời giải

Ta có \[\sin 2x + \cos 2x = \sqrt 2 m \Leftrightarrow \sqrt 2 {\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 m\]\[ \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = m\]

Vì \[\left| {\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right| \le 1\] nên \[\left| m \right| \le 1.\] Hay \[ - 1 \le m \le 1\].Do \[m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = \left\{ { - 1;0;1} \right\}.\]