Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – 4 = 0.

x² + 2y² + 2xy + 3y − 4 = 0

⇔ 4x² + 8y² + 8xy + 12y − 16 = 0

⇔ (4x² + 8xy + 4y²) + (4y² + 12y + 9) = 25

⇔ (2x + 2y)² + (2y + 3)² = 25 = 0 + 5² = 3² + 4²

Do x; y là số nguyên và 2y + 3 là số lẻ ⇒ (2y + 3)² thuộc {5²; 3²}.

Xét các TH xảy ra:

TH1) 2x+2y=02y+3=5⇔x+y=0y=1⇔x=−1y=1

TH2) 2x+2y=02y+3=−5⇔x+y=0y=−4⇔x=4y=−4

TH3) 2x+2y=42y+3=3⇔x+y=2y=0⇔x=2y=0

TH4) 2x+2y=−42y+3=−3⇔x+y=−2y=−3⇔x=1y=−3

TH5) 2x+2y=42y+3=−3⇔x+y=2y=−3⇔x=5y=−3

TH6) 2x+2y=−42y+3=3⇔x+y=−2y=0⇔x=−2y=0

Vậy các cặp số nguyên (x, y) ∈{(–1, 1); (4, –4); (2, 0); (1, –3); (5, –3); (–2, 0)} thỏa mãn đề bài.