Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm này liên tục trên các khoảng xác định của chúng. a) f( x ) = cos x/x^2 + 5x + 6; b) g( x ) = x - 2/sin x

Lời giải:

a) Biểu thức \(\frac{{\cos x}}{{{x^2} + 5x + 6}}\) có nghĩa khi x² + 5x + 6 ≠ 0 ⇔ (x + 2)(x + 3) ≠ 0 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 2\\x \ne - 3\end{array} \right.\).

Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là ℝ \ {– 3; – 2} = (–∞; – 3) ∪ (– 3; – 2) ∪ (– 2; +∞).

Suy ra hàm số f(x) xác định trên các khoảng (–∞; – 3), (– 3; – 2) và (– 2; +∞). Trên các khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) và mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm số liên tục. Vậy hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\cos x}}{{{x^2} + 5x + 6}}\) liên tục trên các khoảng xác định của chúng.

b) Biểu thức \(\frac{{x - 2}}{{\sin \,x}}\) có nghĩa khi sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ ℤ.

Do đó, tập xác định của hàm số g(x) là ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}. Hay hàm số g(x) xác định trên các khoảng (kπ; (k + 1)π) với k ∈ ℤ.

Trên các khoảng xác định của hàm số g(x), tử thức x – 2 (hàm đa thức) và mẫu thức sin x (hàm lượng giác) là các hàm số liên tục.

Vậy hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{\sin \,x}}\) liên tục trên các khoảng xác định của chúng.