Tìm tập giá trị của hàm số: y = sin^6 x + cos ^6 x

\(y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x\)

Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Ta có:

\(y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x\).

Do \(0 \le {\sin ^2}2x \le 1 \Leftrightarrow 0 \ge  - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x \ge  - \frac{3}{4} \Leftrightarrow 1 \ge 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x \ge \frac{1}{4} \Leftrightarrow 1 \ge y \ge \frac{1}{4}\).

Vậy giá trị của hàm số là \(T = \left[ {\frac{1}{4};1} \right]\).