Tìm tập giá trị của hàm số y = (2 sin x + cos x)/( sin x + 2 cos x + 4 ).

Tập xác định hàm số \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y = \frac{{2\sin x + \cos x}}{{\sin x + 2\cos x + 4}} \Leftrightarrow y(\sin x + 2\cos x + 4) = 2\sin x + \cos x\)

\( \Leftrightarrow (y - 2)\sin x + (2y - 1)\cos x =  - 4y.\)

Điều kiện để tồn tại cặp \((x;y)\) là \({(y - 2)^2} + {(2y - 1)^2} \ge {( - 4y)^2}\)

\( \Leftrightarrow  - 11{y^2} - 8y + 5 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 4 - \sqrt {71} }}{{11}} \le y \le \frac{{ - 4 + \sqrt {71} }}{{11}}{\rm{. }}\)

Vậy miền giá trị hàm số là \(T = \left[ {\frac{{ - 4 - \sqrt {71} }}{{11}};\frac{{ - 4 + \sqrt {71} }}{{11}}} \right]\).