Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 sao cho khi chia nó cho 2 thì được một số chính phương. Khi chia nó cho 3 thì được lập phương của một số tự nhiên.

Lời giải:

Gọi số phải tìm là n; a là số chính phương; b là số tự nhiên mà n là lập phương của nó.

Ta thấy n chia hết cho 2 và 3 (vì số chính phương hay lập phương của một số tự nhiên đều là số tự nhiên) nên n nhỏ nhất, ta chọn n = 2^x.3^y(x và y khác 0)

^{n : 2 = 2x}.3^y: 2 = 2^{x – 1}.3^y= a²

⇒ x – 1 và y đều chia hết cho 2 hay đều là số chẵn. (1)

^{n : 3 = 2x}.3^y: 3 = 2^x .3^{y – 1}= b³

⇒ x và y – 1 đều chia hết cho 3. (2)

Từ (1) và (2) để x đạt nhỏ nhất

⇒ x = 3

Từ (1) và (2) để y đạt nhỏ nhất

⇒ y = 4

Vậy n = 2³.3⁴= 648.

Vậy số cần tìm là 648.