Tìm số tự nhiên nhỏ nhất a sao cho khi chia a cho 4, 5, 6 có số dư lần lượt là 3, 4, 5 và a chia hết cho 13.

Vì a chia 4 dư 3 nên a – 3 ⋮ 4 ⇒ a – 3 + 4 ⋮ 4 ⇒ a + 1 ⋮ 4 (1)

Vì a chia 5 dư 4 nên a – 4 ⋮ 5 ⇒ a – 4 + 5 ⋮ 5 ⇒ a + 1 ⋮ 5 (2)

Vì a chia 6 dư 5 nên a – 5 ⋮ 6 ⇒ a – 5 + 6 ⋮ 6 ⇒ a + 1 ⋮ 6 (3)

Từ (1);(2);(3)⇒ a + 1 ⋮ BCNN(4; 5; 6) ⇒ a + 1 ∈ BC(4; 5; 6)

Ta có:

4 = 2²

5 = 5

6 = 2 . 3

BCNN(4; 5; 6) = 2² . 3 . 5 = 60

⇒ a + 1 ∈ BC(4; 5; 6) = B(60) = {0; 60; 120; 180; 240; 300; 360;...}

Vì a ∈ ℕ^* nên a + 1 ∈ ℕ^* ⇒ a + 1 > 0

⇒ a ∈ {59; 119; 179; 239; 299; 359; ...}

Vì a ⋮ 13 mà a nhỏ nhất nên a = 299

Vậy a = 299.