Tìm số tự nhiên n thoả mãn 2.22 + 3.23 + 4.24 + ... + n.2n = 2n + 11

Đặt A = 2.2² + 3.2³ + 4.2⁴ + ... + n.2ⁿ

Ta có: A = 2.2² + 3.2³ + 4.2⁴ + ... + n.2ⁿ

Suy ra 2A = 2(2.2² + 3.2³ + 4.2⁴ + ... + n.2ⁿ)

= 2.2³ + 3.2⁴ + 4.2⁵ + ... + n.2ⁿ⁺¹

Do đó 2A - A = A = 2.2² + (3.2³ - 2.2³) + ... + (n - n + 1).2ⁿ - n.2ⁿ⁺¹

= 2.2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2ⁿ -n.2ⁿ⁺¹

= 2² + (2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2ⁿ⁺¹) - (n + 1).2ⁿ⁺¹

Đặt B = 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2ⁿ⁺¹

Suy ra 2B = 2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2ⁿ⁺²

Do đó 2B - B = B = 2ⁿ⁺²- 2²

Þ B = 2ⁿ⁺²- 2²= 2² - 2ⁿ⁺² + 2² + (n + 1).2ⁿ⁺¹

= (n + 1).2ⁿ⁺¹- 2ⁿ⁺²

= 2ⁿ⁺¹(n + 1 - 2)

= (n - 1).2ⁿ⁺¹ = 2(n - 1).2ⁿ

Mà A = 2(n - 1).2ⁿ = 2^{n + 11}

Þ 2(n - 1) = 2¹¹ Þ n - 1 = 2¹⁰

Þ n - 1 = 1024 Þ n = 1025

Vậy n = 1025.