Tìm số tự nhiên n sao cho n^3-1/9 là số nguyên tố.

Đáp án: “4”

Phương pháp giải

- Đặt \(n = 3k + 1\,\,(k \in N){\rm{.}}\)

Lời giải

\({n^3} - 1:9 \Rightarrow {n^3} - 1:3 \Rightarrow n\) chia cho 3 dư 1 (vì nếu n chia cho 3 dư 0 hoặc 2 thì n3 chia hết cho 3 dư 0 hoặc 2). Đặt \(n = 3k + 1\,\,(k \in N)\). Ta có

\(\frac{{{n^3} - 1}}{9} = \frac{{{{(3k + 1)}^3} - 1}}{9} = \frac{{27{k^3} + 27{k^2} + 9k}}{9} = 3{k^3} + 3{k^2} + k = k\left( {3{k^2} + 3k + 1} \right)\)

Để \(\frac{{{n^3} - 1}}{9}\) là số nguyên tố, phải có k = 1. Khi đó n = 4 và \(\frac{{{n^3} - 1}}{9} = \frac{{64 - 1}}{9} = 7\), là số nguyên tố.