Tìm số tự nhiên n lớn nhất có 3 chữ số sao cho n chia 8 dư 7, chia 31 dư 28. A. 927 B. 183 C. 431 D. 729

Trả lời:

Vì n chia 8 dư 7 nên \[\left( {n - 7} \right) \vdots 8\] (n > 7)

⇒ n = 8a + 7 với \[a \in N \Rightarrow \left( {n + 1} \right) \vdots 8\]

Vì n chia 31  dư 28 nên 

\[\left( {n - 28} \right) \vdots 31\](n > 28) ⇒n = 31b + 28 (\[b \in N\])

\[ \Rightarrow \left( {n + 3} \right) \vdots 31\]

Vì \[64 \vdots 8\]nên \[\left( {n + 1 + 64} \right) \vdots 8\]hay \[\left( {n + 65} \right) \vdots 8\] (1)
Vì \[62 \vdots 31\]nên \[\left( {n + 3 + 62} \right) \vdots 31\]hay \[\left( {n + 65} \right) \vdots 31\] (2)
Từ (1) và (2)\[ \Rightarrow \left( {n + 65} \right) \in BCNN\left( {8;31} \right)\]

nên \[\left( {n + 65} \right) \vdots 248\]

 \[ \Rightarrow n = 248k - 65\left( {k \in N*} \right)\] (1)

Với k = 1 ⇒n = 248.1 – 65 = 183
Với k = 2 ⇒n = 248.2 – 65 = 431
Với k = 3 ⇒n = 248.3 – 65 = 679
Với k = 4 ⇒n = 248.4 – 65 = 927
Với k = 5 ⇒n = 248.5 – 65 = 1175 (loại) 
Vì n  là số lớn nhất có 3 chữ số nên n = 927.

Đáp án cần chọn là: A