Tìm số tự nhiên n có 3 chữ số khác nhau biết rằng nếu xóa bất kì chữ số nào của nó ta cũng được một số là ước của n.

Gọi số tự nhiên n có dạng là abc¯

Nếu xóa c ta được ab¯ và abc¯⋮ab¯

Tương tự nếu xóa b ta được ac¯ và abc¯⋮ac¯

Nếu xóa a ta được bc¯ và abc¯⋮bc¯

Vì 10ab¯⋮ab¯⇒c⋮ab¯

Để c⋮ab¯ thì c = 0

Lại có: abc¯ac¯=ab0¯+10ca0¯+c=100a+10b+10c10a+c=1010a+c+10b10a+c

Suy ra: 10b ⋮ (10a + c) mà c = 0 nên 10b ⋮ 10a hay b ⋮ a

Tức a là ước của b (1)

Lại có: abc¯bc¯=a00¯+b0→b0¯=100a+10b10b=1010a+b10b=10a+bb=1+10.ab

Để abc¯⋮bc¯ thì a ⋮ b

Suy ra: b là ước của a (2)

Từ (1) và (2) ta có: a = b và khác 0.

Suy ra: n = {110; 220; 330; 440; 550; 660; 770; 880; 990}.